Simone
复合函数及其定义域求法
一、对高中复合函数的通解法——综合分析法
1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程
例1：指出下列函数的复合过程。
(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x
解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。磨纳
(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
(3)∵y=sin3x=(sinx)-3
∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
例2：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
经典误解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11
∵f(u1)的定义域为[1、2]
∴1≤x﹤2
∴-9≤2x-11﹤-6
即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]
∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]
经典误解2：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]
∴1≤x+3﹤2
∴-2≤x﹤-1
∴-4≤2x﹤-2
∴-9≤2x-5﹤-7
∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]
注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。
从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出u仅仅是中间变量，即u既不是自变量也不是因变量。
复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3复合而成的复合函数，其定义域是x的取值范围。
正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。
f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5复合而成的
∵1≤x1﹤2
∴4≤u1﹤5
∴4≤u2﹤5
∴4≤2x2-5﹤5
∴2≤x2﹤5
∴f(2x-5)的定义域为[2、5]
结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即u为第一层，x为第二层，一、二两物游唤层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解1与2的情况。
扩展资料
复合函数定义域求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R;
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);
⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，罩凯它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
