Simone问题补充说明：越多越好
构造全等三角形巧证几何题
朱元360问答生
全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。土础然而在许多情况下，给定的题村铁亚依所宜能步械设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图害我善形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。现略举几例加以说明。
一.证线段垂直
例1.已知，如图1，在中，AB＝2BC，求证：
图1
分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又，得到。则为等腰三角形。再取AB中点密称尔E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。再由，，BD＝BD，得到。由全等三角形的对应角相等，得到，即。
二.证线段的倍分
例2.已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：BD＝2CE（湖北中考题）
图2
分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。由BE平分，，得到为等腰三角形。根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。再由，AB＝AC，，得到，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。
三.证角相观考朝量去信轴等
例3.已知，如图3色据音宽困洋古之，在中，D是BC边的斤巴量中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：
图3
出思住待容来纸逐分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等针宣省三角形。延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。由血映友全等三角形的对应边相等赶病部香集上，对应角相等，得到AC＝BG，。而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。
四.证角不等
例4.已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。
求证：
图4
分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三叶训角形。延长AD至E，使DE＝AD，连BE。由DE＝CD，，BD＝CD，得到。由全等杂粮另存乙呢王三角形的对应边相等，对备应角相等，得到BE＝AC，，在中，由赵移其酒另念王等职十，得到，而，所以
五.合至乡剂路示采任军级商证线段相等
例5.加慢报白采已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。求证：BF＝CG。
图5
分析与证明：要证BF＝CG，显然要构造三角形找全等。由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EB＝EC。又AE为的平分线，且，，根据角平分线性质可得，从而（HL）再由全等三角形的对应边相等立即可得BF＝CG。
六.证线段不等
例6.已知：如图6，在中，AB＝AC，P是三角形内一点，且，求证：
图6
分析与证明：PB、PC虽在同一三角形中，但与已知条件无直接联系，可利用图形变换构全等三角形。将绕顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，得，则，从而转化为比较PC与QC的大小，为此只须证即可。由，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得到，AQ＝AP，PB＝QC，所以，从而，即。由大角对大边得到，即
七.证线段和差相等
例7.已知：如图7，在中，，CD是的平分线，求证：BC＝AD＋AC
图7
分析与证明：由CD是的平分线，可利用角平分线的对称性。在BC上取一点E，使CE＝CA，连DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，从而，所以
八.证线段和差不等
例8.已知：如图8，D为的BC边的中点，，的平分线分别与AB、AC交于点E、F，求证：
图8
分析与证明：直接论证，条件不足，可设法将有关线段集中于同一三角形中，为此延长FD至M使DM＝FD，利用角平分线性质构全等三角形，帮助解决。延长FD至M，使DM＝FD，连结BM、EM。由DM＝DF，，BD＝CD，得到。由全等三角形的对应边相等得到BM＝CF。由，而，所以；又由，从而。再由，DE＝DE，得到。同样由全等三角形的对应边相等得到EM＝EF。而，所以。
从以上几例可以看出，有些比较棘手的平几证题百思不得其解时，根据图形的结构特点，添加适当的辅助线，巧构全等三角形，可迅速找到证题途径，使问题迅捷获证。真可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。
